Упр.28.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.33 а)3sin2(x) больше или равно cosx; в)2sin2(x) меньше или равно cosx; б)корень x2+1 меньше или равно cosx; г)корень x2+1 больше или равно sinx.

1. а) $$3^{\sin^2 x}\ge \cos x$$

   Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ то

   $$3^{\sin^2 x}\ge 3^0=1.$$

   Кроме того, $$\cos x\le 1.$$

   Следовательно, неравенство верно при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

2. б) $$\sqrt{x^2+1}\le \cos x$$

   Имеем $$\sqrt{x^2+1}\ge 1,$$ а также $$\cos x\le 1.$$

   Чтобы неравенство выполнялось, нужно одновременно

   $$\sqrt{x^2+1}=1,\qquad \cos x=1.$$

   Из $$\sqrt{x^2+1}=1$$ получаем $$x=0.$$

   Проверка: $$\cos 0=1.$$

   Значит, $$x=0.$$

3. в) $$3^{\sin^2 x}\le \cos x$$

   Так как $$\sin^2 x\ge 0,$$ то

   $$3^{\sin^2 x}\ge 1.$$

   А поскольку $$\cos x\le 1,$$ то для выполнения неравенства нужно

   $$3^{\sin^2 x}=1,\qquad \cos x=1.$$

   Из $$3^{\sin^2 x}=1$$ следует $$\sin^2 x=0,$$ то есть $$x=\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Из $$\cos x=1$$ получаем $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

   Пересечение этих множеств:

   $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$

4. г) $$\sqrt{x^2+1}\ge \sin x$$

   Имеем $$\sqrt{x^2+1}\ge 1,$$ а также $$\sin x\le 1.$$

   Следовательно, неравенство верно при любом $$x\in \mathbb{R}.$$

Ответ

а) $$x\in \mathbb{R}$$; б) $$x=0$$; в) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$; г) $$x\in \mathbb{R}$$.