Упр.28.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 28.32 а)x2+1 больше или равно cosx; в)x2+1 меньше или равно cosx; б)sinx меньше или равно -(x + Пи/2)2 — 1; г)sinx больше или равно -(x+Пи/2)2-1.

1. а) $$x^2+1\ge \cos x$$

   Рассмотрим функции $$y=x^2+1$$ и $$g=\cos x$$.

   Так как $$x^2\ge 0$$, то $$x^2+1\ge 1$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$. Кроме того, $$\cos x\le 1$$ при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

   Следовательно, $$x^2+1\ge \cos x$$ для любого действительного $$x$$.

2. б) $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Рассмотрим функции $$y=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$ и $$g=\sin x$$.

   Парабола $$y=-\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$ имеет наибольшее значение $$-1$$ при $$x=-\frac{\pi}{2}$$. Для синуса $$\sin x\ge -1$$.

   Чтобы выполнялось неравенство $$\sin x\le -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$, обе функции должны принимать значение $$-1$$:

   $$ \sin x=-1,\qquad -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1=-1 $$

   $$ \left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2} $$

3. в) $$x^2+1\le \cos x$$

   Имеем $$x^2+1\ge 1$$ и $$\cos x\le 1$$. Равенство возможно только при

   $$ x^2+1=1 \Rightarrow x=0,\qquad \cos x=1 \Rightarrow x=0. $$

   Значит, решение одно:

4. г) $$\sin x\ge -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1$$

   Так как $$\sin x\ge -1$$, а

   $$ -\left(x+\frac{\pi}{2}\right)^2-1\le -1, $$

   то неравенство выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Ответ

а) $$x\in \mathbb{R}$$;
б) $$x=-\frac{\pi}{2}$$;
в) $$x=0$$;
г) $$x\in \mathbb{R}$$.