Упр.28.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.30 а)lgx меньше 1/x — 1;б)log1,6(x) больше или равно 1/x — 1.

а) Рассмотрим функции $$y=\lg x$$ и $$y=\frac{1}{x}-1.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём точку пересечения графиков:

$$\lg x=\frac{1}{x}-1.$$

При $$x=1$$ получаем:

$$\lg 1=0,\qquad \frac{1}{1}-1=0,$$

значит, графики пересекаются в точке $$x=1.$$

Сравним значения функций на промежутках. При $$0<x<1$$ имеем $$\lg x<0$$ и $$\frac{1}{x}-1>0,$$ поэтому $$\lg x<\frac{1}{x}-1.$$

При $$x>1$$ наоборот, $$\lg x>\frac{1}{x}-1.$$

Следовательно, решение неравенства:

$$x\in(0;1).$$

б) Рассмотрим функции $$y=\log_{1,6}x$$ и $$y=\frac{1}{x}-1.$$

Область определения: $$x>0.$$

Точка пересечения находится из уравнения

$$\log_{1,6}x=\frac{1}{x}-1.$$

При $$x=1$$:

$$\log_{1,6}1=0,\qquad \frac{1}{1}-1=0,$$

значит, графики пересекаются в точке $$x=1.$$

Так как функция $$y=\log_{1,6}x$$ возрастает, а функция $$y=\frac{1}{x}-1$$ убывает, то при $$x>1$$ выполняется неравенство

$$\log_{1,6}x\ge \frac{1}{x}-1,$$

а при $$0<x<1$$ оно не выполняется.

Следовательно,

$$x\in[1;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in(0;1)$$; б) $$x\in[1;+\infty).$$