Упр.28.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.3. Являются ли равносильными неравенства: а) sin х + 2 log3(х) > 20 и sin х > 20 — 2 log3(х); б)sinx/корень x2+1 больше или равно 1 и sin х больше или равно 10x + 13(x2-4); в) 13 — 13(x2-4) больше или равно 10x и 13 больше или равно 10x + 13(x2-4); г) 10(4x-1) * lg(x2 — 4) < 0 и lg(x2 - 4) < 0?

1. $$\sin x+2\log_3 x>20$$

   Перенесём слагаемое $$2\log_3 x$$ в правую часть:

   $$\sin x>20-2\log_3 x.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

   а) да.

2. $$\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}}\ge 1$$

   Так как

   $$\sqrt{x^2+1}>0$$

   при любом $$x$$, можно умножить обе части неравенства на положительное число $$\sqrt{x^2+1}$$:

   $$\sin x\ge \sqrt{x^2+1}.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

   б) да.

3. $$13-13^{x^2-4}\ge 10^x$$

   Перенесём $$13^{x^2-4}$$ в правую часть:

   $$13\ge 10^x+13^{x^2-4}.$$

   Получили второе неравенство, значит, они равносильны.

   в) да.

4. $$10^{4x-1}\cdot \lg(x^2-4)<0$$

   Так как $$10^{4x-1}>0$$ при любых допустимых $$x$$, то знак произведения определяется только знаком $$\lg(x^2-4)$$. Поэтому

   $$\lg(x^2-4)<0.$$

   Следовательно, неравенства равносильны.

   г) да.

Ответ

а) да; б) да; в) да; г) да.