Упр.28.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.27 а)sin2(x) — 3sinx + 1 меньше или равно 0; б)cos2(x)-5cosx + 4 меньше или равно 0.

а) Обозначим $$y=\sin x.$$ Тогда получаем квадратное неравенство:

$$2y^2-3y+1\le 0.$$

Найдём корни уравнения $$2y^2-3y+1=0$$:

$$D= (-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1,$$

$$y_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2},$$

откуда

$$y_1=\frac12,\qquad y_2=1.$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$\frac12\le y\le 1.$$

Возвращаемся к замене:

$$\frac12\le \sin x\le 1.$$

Это означает, что

$$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Обозначим $$y=\cos x.$$ Тогда имеем:

$$y^2-5y+4\le 0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$D= (-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9,$$

$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2},$$

откуда

$$y_1=1,\qquad y_2=4.$$

Следовательно,

$$1\le y\le 4.$$

Но $$\cos x\in[-1;1],$$ значит из условия остаётся только

$$\cos x=1.$$

Тогда

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+2\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+2\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$