Упр.28.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

а) Обозначим $$y=\log_2(x-1).$$ Тогда получаем:

$$y^2+3y+2\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$ (y+2)(y+1)\ge 0. $$

Отсюда:

$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge -1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$.

1) Если $$\log_2(x-1)\le -2,$$ то

$$0<x-1\le 2^{-2}=\frac14,$$

$$1<x\le \frac54.$$

2) Если $$\log_2(x-1)\ge -1,$$ то

$$x-1\ge 2^{-1}=\frac12,$$

$$x\ge \frac32.$$

С учётом области определения $$x>1$$ получаем:

$$x\in \left(1;\frac54\right]\cup \left[\frac32;+\infty\right).$$

б) Обозначим $$y=3^{\log_{0,1}x}.$$ Тогда неравенство принимает вид:

$$y^2-4y+3<0.$$

Разложим на множители:

$$ (y-1)(y-3)<0, $$

откуда

$$1<y<3.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$1<3^{\log_{0,1}x}<3.$$

Так как основание степени больше 1, получаем:

$$0<\log_{0,1}x<1.$$

Поскольку основание логарифма $$0{,}1<1,$$ знак неравенства при переходе к аргументу меняется:

$$0{,}1<x<1.$$

Ответ

а) $$x\in \left(1;\frac54\right]\cup \left[\frac32;+\infty\right);$$ б) $$x\in (0{,}1;1).$$