Упр.28.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

1. а) Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда неравенство принимает вид

   $$y^2-7y+12<0.$$

   Разложим на множители:

   $$y^2-7y+12=(y-3)(y-4).$$

   Получаем

   $$ (y-3)(y-4)<0, \quad 3<y<4.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$3<\log_2 x<4,$$

   $$2^3<x<2^4,$$

   $$8<x<16.$$

2. б) Пусть $$y=\log_{\frac13} x$$. Тогда

   $$3y^2-10y+3\ge 0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=64,$$

   $$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\qquad y_2=\frac{10+8}{6}=3.$$

   Тогда

   $$\left(y-\frac13\right)(y-3)\ge 0,$$

   откуда

   $$y\le \frac13 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

   Возвращаемся к $$x$$. Так как основание логарифма $$\frac13<1$$, знак неравенства при переходе меняется:

   $$\log_{\frac13} x\le \frac13 \;\Longrightarrow\; x\ge \left(\frac13\right)^{\frac13}=\frac1{\sqrt[3]{3}},$$

   $$\log_{\frac13} x\ge 3 \;\Longrightarrow\; x\le \left(\frac13\right)^3=\frac1{27}.$$

   С учётом области определения $$x>0$$ получаем

   $$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in(8;16).$$

б) $$x\in \left(0;\frac1{27}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt[3]{3}};+\infty\right).$$