Упр.28.24 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.24 а)3x+3(-x+1) меньше или равно 4; б)25^-x — 50 > 5(-x+1).

а) Пусть $$y=3^x,$$ тогда $$y>0.$$

Имеем:

$$3^x+3^{-x+1}\le 4$$

$$y+\frac{3}{y}\le 4$$

Умножим на $$y>0$$:

$$y^2-4y+3\le 0$$

$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)\le 0$$

Отсюда:

$$1\le y\le 3$$

Возвращаемся к замене:

$$1\le 3^x\le 3$$

$$3^0\le 3^x\le 3^1$$

Следовательно,

$$0\le x\le 1.$$

б) Пусть $$y=5^{-x},$$ тогда $$y>0.$$

Имеем:

$$25^{-x}-50>5^{-x+1}$$

$$\left(5^2\right)^{-x}-50>5^{-x+1}$$

$$5^{-2x}-50>5\cdot 5^{-x}$$

$$y^2-5y-50>0$$

$$\left(y+5\right)\left(y-10\right)>0$$

Отсюда:

$$y<-5 \quad \text{или} \quad y>10.$$

Так как $$y=5^{-x}>0,$$ то подходит только

$$5^{-x}>10.$$

Тогда

$$-x>\log_5 10,$$

$$x<-\log_5 10.$$

Так как $$-\log_5 10=\log_5 0{,}1,$$ получаем

$$x<\log_5 0{,}1.$$

Ответ

а) $$x\in[0;1]$$; б) $$x\in(-\infty;\log_5 0{,}1).$$