Упр.28.22 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.22. а) 3(1 + x) * 2(1 — х) + 3x * 2^-х меньше или равно 10,5;б) 2х * 5(1-x) + 2(x+1)* 5^-х больше или равно 2,8.

а)

$$3^{1+x}\cdot 2^{1-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$

$$3\cdot 3^x\cdot 2\cdot 2^{-x}+3^x\cdot 2^{-x}\le 10{,}5$$

Введём новую переменную:

$$y=3^x\cdot 2^{-x}=\left(\frac{3}{2}\right)^x,\quad y>0.$$

Тогда

$$6y+y\le 10{,}5$$

$$7y\le 10{,}5$$

$$y\le 1{,}5=\frac{3}{2}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{3}{2}\right)^x\le \frac{3}{2}.$$

Так как основание $$\frac{3}{2}>1,$$ получаем

$$x\le 1.$$

б)

$$2^x\cdot 5^{1-x}+2^{x+1}\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

$$2^x\cdot 5\cdot 5^{-x}+2\cdot 2^x\cdot 5^{-x}\ge 2{,}8$$

Введём новую переменную:

$$y=2^x\cdot 5^{-x}=\left(\frac{2}{5}\right)^x,\quad y>0.$$

Тогда

$$5y+2y\ge 2{,}8$$

$$7y\ge 2{,}8$$

$$y\ge 0{,}4=\frac{2}{5}.$$

Возвращаемся к замене:

$$\left(\frac{2}{5}\right)^x\ge \frac{2}{5}.$$

Так как основание $$\frac{2}{5}$$ лежит между $$0$$ и $$1,$$ функция убывает, значит

$$x\le 1.$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;1]$$; б) $$x\in(-\infty;1]$$.