Упр.28.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство методом введения новой переменной: 28.21. а) 3^2x — 2* 3х — 3 больше или равно 0; б) 2 * 5^2x — 5х — 1 меньше или равно 0.

а) Пусть $$y=3^x$$, тогда $$y>0$$ и неравенство принимает вид:

$$y^2-2y-3\ge 0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-2y-3=(y-3)(y+1).$$

Тогда

$$ (y-3)(y+1)\ge 0.$$

Отсюда

$$y\le -1 \quad \text{или} \quad y\ge 3.$$

Так как $$y=3^x>0$$, то условие $$y\le -1$$ невозможно. Остаётся:

$$3^x\ge 3,$$

откуда

$$x\ge 1.$$

б) Пусть $$y=5^x$$, тогда $$y>0$$ и получаем:

$$2y^2-y-1\le 0.$$

Разложим на множители:

$$2y^2-y-1=(2y+1)(y-1).$$

Тогда

$$ (2y+1)(y-1)\le 0.$$

Отсюда

$$-\frac12 \le y \le 1.$$

Но $$y=5^x>0$$, значит остаётся:

$$0<5^x\le 1.$$

Так как $$5^x\le 1=5^0$$, то

$$x\le 0.$$

Ответ

а) $$x\in[1;+\infty)$$; б) $$x\in(-\infty;0]$$.