Упр.28.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.20 а)(корень 3)tgx меньше или равно 3 корень 3/3tgx; б)(корень 2)2cosx > 1/2*2cosx.

а)

$$ (\sqrt{3})^{\tg x}\le \frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}} $$
Представим правую часть как степень числа $3$:
$$ \frac{3\sqrt{3}}{3^{\tg x}}=3^{\frac32-\tg x}. $$
Тогда
$$ 3^{\frac{\tg x}{2}}\le 3^{\frac32-\tg x}. $$
Так как основание $3>1$, сравниваем показатели:
$$ \frac{\tg x}{2}\le \frac32-\tg x. $$
$$ \frac{3}{2}\tg x\le \frac32 $$
$$ \tg x\le 1. $$
Отсюда
$$ -\frac{\pi}{2}+\pi n<x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б)

$$ (\sqrt{2})^{2\cos x}>\frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}} $$
Преобразуем обе части:
$$ (\sqrt{2})^{2\cos x}=2^{\cos x}, $$
$$ \frac{1}{2\cdot 2^{\cos x}}=2^{-1-\cos x}. $$
Получаем:
$$ 2^{\cos x}>2^{-1-\cos x}. $$
Так как основание $2>1$, сравниваем показатели:
$$ \cos x>-1-\cos x. $$
$$ 2\cos x>-1. $$
$$ \cos x>-\frac12. $$
Следовательно,
$$ -\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{4}+\pi n\right],\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\,\frac{2\pi}{3}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$