Упр.28.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.18. а) (2(x+1) + 1)6 больше или равно (2х + 17)6; б) (2 * 0,1x + 3)10 меньше или равно (О,1x + 103)10; в) (3 — 3 log 0,2(x))13 < (log 0,2(х) + 7)13; г) (3log7(х) - 24)5 > (2 log7(х) — 22)5.

Подробный ответ

а) Так как функция $$y=x^6$$ возрастает при $$x \ge 0$$, то можно сравнить основания:
$$2(x+1)+1 \ge 2x+17$$
$$2x+2+1 \ge 2x+17$$
$$2x+3 \ge 2x+17$$
$$3 \ge 17,$$
что неверно. Значит, нужно внимательно раскрыть скобки в исходной записи:
$$2(x+1)+1=2x+3,$$
и тогда
$$2x+3 \ge 2x+17 \Rightarrow 3 \ge 17,$$
противоречие. Следовательно, в записи задания имеется опечатка. По изображению учебника верное неравенство:
$$\left(2^{x+1}+1\right)^6 \ge \left(2^x+17\right)^6.$$
Тогда, поскольку функция $$y=t^6$$ возрастает при $$t \ge 0$$, получаем:
$$2^{x+1}+1 \ge 2^x+17$$
$$2\cdot 2^x+1 \ge 2^x+17$$
$$2^x \ge 16$$
$$2^x \ge 2^4$$
$$x \ge 4.$$
б) Аналогично, по изображению учебника:
$$\left(2\cdot 0{,}1^x+3\right)^{10} \le \left(0{,}1^x+103\right)^{10}.$$
Так как функция $$y=t^{10}$$ возрастает при $$t \ge 0$$, имеем:
$$2\cdot 0{,}1^x+3 \le 0{,}1^x+103$$
$$0{,}1^x \le 100$$
$$10^{-x} \le 10^2$$
$$-x \le 2$$
$$x \ge -2.$$
в) По изображению:
$$\left(3-3\log_{0{,}2}x\right)^{13} < \left(\log_{0{,}2}x+7\right)^{13}.$$
Так как функция $$y=t^{13}$$ возрастает, а область определения: $$x>0$$, получаем:
$$3-3\log_{0{,}2}x < \log_{0{,}2}x+7$$
$$-4\log_{0{,}2}x < 4$$
$$\log_{0{,}2}x > -1.$$
Так как основание $$0{,}2<1$$, знак неравенства при переходе к показательной форме меняется:
$$x < 0{,}2^{-1}=5.$$
С учётом ОДЗ:
$$0<x<5.$$
г) По изображению:
$$\left(3\log_7 x-24\right)^5 > \left(2\log_7 x-22\right)^5.$$
Так как функция $$y=t^5$$ возрастает, а область определения: $$x>0$$, имеем:
$$3\log_7 x-24 > 2\log_7 x-22$$
$$\log_7 x > 2$$
$$x>7^2$$
$$x>49.$$