Упр.28.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.17. а) (х2 — 6x)5 больше или равно (2х — 7)5; б) (x2 — 2x)9 меньше или равно (2x — х2 — 2)9; в) (x2 — 10)11 < (5 - 2x)11; г) (6x2 - 4x - 2)7 > (x2 + 3x + 10)7.
а) Так как функция $$f(t)=t^5$$ возрастает на всей числовой прямой, то
$$ (x^2-6x)^5 \ge (2x-7)^5 \iff x^2-6x \ge 2x-7. $$
Получаем:
$$ x^2-8x+7 \ge 0. $$
Найдём корни:
$$ D=64-28=36,\quad x_1=\frac{8-6}{2}=1,\quad x_2=\frac{8+6}{2}=7. $$
Тогда
$$ (x-1)(x-7)\ge 0, $$
откуда
$$ x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty). $$
б) Так как функция $$f(t)=t^9$$ возрастает, то
$$ (x^2-2x)^9 \le (2x-x^2-2)^9 \iff x^2-2x \le 2x-x^2-2. $$
Получаем:
$$ 2x^2-4x+2\le 0, $$
или
$$ x^2-2x+1\le 0. $$
То есть
$$ (x-1)^2\le 0. $$
Это возможно только при
$$ x=1. $$
в) Так как функция $$f(t)=t^{11}$$ возрастает, то
$$ (x^2-10)^{11} < (5-2x)^{11} \iff x^2-10 < 5-2x. $$
Получаем:
$$ x^2+2x-15<0. $$
Разложим на множители:
$$ (x+5)(x-3)<0. $$
Следовательно,
$$ x\in(-5;3). $$
г) Так как функция $$f(t)=t^7$$ возрастает, то
$$ (6x^2-4x-2)^7 > (x^2+3x+10)^7 \iff 6x^2-4x-2 > x^2+3x+10. $$
Получаем:
$$ 5x^2-7x-12>0. $$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$ D=49+240=289,\quad x_1=\frac{7-17}{10}=-1,\quad x_2=\frac{7+17}{10}=2{,}4. $$
Тогда
$$ (x+1)(x-2{,}4)>0, $$
откуда
$$ x\in(-\infty;-1)\cup(2{,}4;+\infty). $$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;1]\cup[7;+\infty)$$; б) $$x=1$$; в) $$x\in(-5;3)$$; г) $$x\in(-\infty;-1)\cup(2{,}4;+\infty)$$.
