Упр.28.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите неравенство: 28.16. a) log9(x2 — 10x + 40) меньше или равно log9(4x — 8); б) log 0,7(9x — 4х2) больше или равно log 0,7 (х3 + 4×2); в) log корень 2((x-2)/(2x-4)) < log корень 2((x+1)/(x+2)); г) log1/3(5x - 4) < log1/3 х2.

1. а) Так как основание логарифма $$9>1,$$ то сравниваем подлогарифмические выражения:

   $$x^2-10x+40\le 4x-8.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-14x+48\le 0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4,$$

   $$x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2},\quad x_1=6,\; x_2=8.$$

   Тогда

   $$ (x-6)(x-8)\le 0, $$

   откуда

   $$6\le x\le 8.$$

   Проверим область определения:

   $$x^2-10x+40>0,\qquad 4x-8>0.$$

   Первое неравенство выполняется при всех $$x,$$ так как

   $$D=10^2-4\cdot 40=100-160=-60<0.$$

   Второе даёт $$x>2,$$ что не влияет на найденный промежуток.

   Итак, $$x\in[6;8].$$

2. б) Основание $$0{,}7<1,$$ значит при переходе к подлогарифмическим выражениям знак неравенства меняется:

   $$9x-4x^2\le x^3+4x^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^3+8x^2-9x\ge 0,$$

   $$x(x^2+8x-9)\ge 0,$$

   $$x(x+9)(x-1)\ge 0.$$

   Отсюда

   $$x\in[-9;0]\cup[1;+\infty).$$

   Теперь учтём область определения:

   $$9x-4x^2>0,\qquad x^3+4x^2>0.$$

   Имеем

   $$x(9-4x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<\frac94,$$

   $$x^2(x+4)>0 \;\Rightarrow\; x>0 \text{ или } x<-4.$$

   Пересечение с найденным множеством даёт

   $$x\in[1;\tfrac94).$$

3. в) Основание $$\sqrt2>1,$$ поэтому сравниваем дроби:

   $$\frac{x-2}{2x-4}<\frac{x+1}{x+2}.$$

   Заметим, что

   $$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac12,\qquad x\ne 2.$$

   Тогда

   $$\frac12<\frac{x+1}{x+2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{2(x+1)-(x+2)}{2(x+2)}>0,$$

   $$\frac{x}{x+2}>0.$$

   Отсюда

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;+\infty).$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 2,$$ получаем

   $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$

4. г) Основание $$\frac13<1,$$ значит знак неравенства меняется:

   $$5x-4>x^2.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-5x+4<0,$$

   $$ (x-1)(x-4)<0. $$

   Отсюда

   $$1<x<4.$$

   Проверим ОДЗ:

   $$5x-4>0,\qquad x^2>0.$$

   На промежутке $$1<x<4$$ условия выполнены.

Ответ

а) $$x\in[6;8]$$; б) $$x\in[1;\tfrac94)$$; в) $$x\in(-\infty;-2)\cup(0;2)\cup(2;+\infty)$$; г) $$x\in(1;4)$$.