Упр.28.13 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.10 а)система б)cистема x/(x+2) — 24/(x+2)2 < 0, (x2-1,5x-7)/(x-4)2 > 0, -3x < 9; x2 < 25.

а)

$$\frac{x}{x+2}-\frac{24}{(x+2)^2}<0,$$ $$-3x<9.$$

Приведём первое неравенство к общему знаменателю:

$$\frac{x(x+2)-24}{(x+2)^2}<0,$$
$$\frac{x^2+2x-24}{(x+2)^2}<0,$$
$$\frac{(x+6)(x-4)}{(x+2)^2}<0.$$

Так как $$ (x+2)^2>0 $$ при $$x\ne -2,$$ знак дроби определяется числителем:

$$(x+6)(x-4)<0,$$
$$-6<x<4.$$

Из второго неравенства:

$$-3x<9,$$
$$x>-3.$$

С учётом области определения $$x\ne -2$$ получаем:

$$x\in(-3;-2)\cup(-2;4).$$

б)

$$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0,$$
$$x^2<25.$$

Первое неравенство:

$$\frac{x^2-1{,}5x-7}{(x-4)^2}>0.$$

Так как $$ (x-4)^2>0 $$ при $$x\ne 4,$$ достаточно решить:

$$x^2-1{,}5x-7>0.$$

Умножим на 2:

$$2x^2-3x-14>0,$$
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot(-14)=9+112=121,$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 11}{4}.$$

Отсюда:

$$x_1=-2,\quad x_2=3{,}5.$$

Тогда

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3{,}5.$$

Второе неравенство:

$$x^2<25,$$
$$-5<x<5.$$

С учётом области определения $$x\ne 4$$ получаем пересечение:

$$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5).$$

Ответ

а) $$x\in(-3;-2)\cup(-2;4);$$
б) $$x\in(-5;-2)\cup(3{,}5;4)\cup(4;5).$$