Упр.28.12 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.9 а) система б)система x3 < x, (x+5)/(x-7) < 1, 3x2-x > 5-15x; (3x+4)/(4x-2) > -1.

Подробный ответ

а)

Решим каждое неравенство системы отдельно:

$$x^3<x$$
$$x^3-x<0$$
$$x(x^2-1)<0$$
$$x(x-1)(x+1)<0$$
Отсюда
$$x\in(-\infty;-1)\cup(0;1).$$

$$3x^2-x>5-15x$$
$$3x^2+14x-5>0$$
$$D=14^2-4\cdot 3\cdot(-5)=196+60=256$$
$$x_{1,2}=\frac{-14\pm 16}{6}$$
$$x_1=-5,\quad x_2=\frac13$$
Так как старший коэффициент положительный, то
$$3x^2+14x-5>0 \iff x\in(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;\infty\right).$$

Пересекаем множества решений:

$$\left((-\infty;-1)\cup(0;1)\right)\cap\left((-\infty;-5)\cup\left(\frac13;\infty\right)\right)$$
$$=(-\infty;-5)\cup\left(\frac13;1\right).$$

б)

$$\frac{x+5}{x-7}<1$$
$$\frac{x+5-(x-7)}{x-7}<0$$
$$\frac{12}{x-7}<0$$
Так как числитель положителен, то
$$x-7<0,\quad x<7,\quad x\ne 7.$$

$$\frac{3x+4}{4x-2}>-1$$
$$\frac{3x+4+4x-2}{4x-2}>0$$
$$\frac{7x+2}{4x-2}>0$$
$$\frac{7x+2}{2(2x-1)}>0$$
Критические точки:
$$x=-\frac27,\quad x=\frac12.$$
По знакам дроби получаем
$$x\in\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;\infty\right).$$

Пересекаем с условием $$x<7$$:

$$x\in\left(-\infty;-\frac27\right)\cup\left(\frac12;7\right).$$