Упр.28.1 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 28.1. Придумайте три неравенства, равносильных неравенству: а)x2-9 меньше или равно 0;б)1/x < 1/3.

а) $$x^2-9\le 0$$

Разложим на множители:

$$x^2-9=(x-3)(x+3)\le 0.$$

Отсюда $$-3\le x\le 3.$$

Тогда равносильными будут, например, такие неравенства:

• $$|x|\le 3;$$
• $$x^2\le 9;$$
• $$x^4\le 81.$$

б) $$\frac{1}{x}<\frac{1}{3}$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{3}<0,$$

$$\frac{3-x}{3x}<0,\qquad x\ne 0.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$-1$$:

$$\frac{x-3}{3x}>0.$$

Так как $$3>0$$, получаем равносильное неравенство

$$\frac{x-3}{x}>0.$$

Следовательно, можно записать, например, такие равносильные неравенства:

• $$x(x-3)>0;$$
• $$x^2-3x>0;$$
• $$\frac{x-3}{x}>0.$$

Ответ

а) $$|x|\le 3,\; x^2\le 9,\; x^4\le 81.$$

б) $$x(x-3)>0,\; x^2-3x>0,\; \frac{x-3}{x}>0.$$