Упр.27.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.9 а)2(log8(x)-log8(x2+2,5)-(2 корень 2+1)2-9; б)2cosx*3 корень 3=корень 27/корень 3.

а) Рассмотрим уравнение

$$2^{\log_8 x-\log_8(x^2+2{,}5)}=(2\sqrt2+1)^2-9.$$

Найдём правую часть:

$$ (2\sqrt2+1)^2-9=8+4\sqrt2+1-9=4\sqrt2. $$

Тогда

$$2^{\log_8 x-\log_8(x^2+2{,}5)}=4\sqrt2=2^{2+\frac12}=2^{\frac52}.$$

Следовательно,

$$\log_8 x-\log_8(x^2+2{,}5)=\frac52.$$

Так как $$\log_8 x-\log_8(x^2+2{,}5)=\log_8\frac{x}{x^2+2{,}5},$$ то получаем

$$\log_8 x=0.$$

Отсюда

$$x=1.$$

Проверка области определения: $$x>0,$$ значит $$x=1$$ подходит.

б) Решим уравнение

$$3^{\cos x}\cdot 3\sqrt3=\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}.$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt3}=\sqrt{\frac{27}{3}}=\sqrt9=3.$$

Тогда

$$3^{\cos x}\cdot 3\sqrt3=3.$$

Представим $$3\sqrt3$$ как степень тройки:

$$3\sqrt3=3^{1+\frac12}=3^{\frac32}.$$

Получаем

$$3^{\cos x+\frac32}=3^1,$$

значит

$$\cos x+\frac32=1,$$

откуда

$$\cos x=-\frac12.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$1$$; б) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$