Упр.27.7 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.7 а)sin(3x+Пи/3)=sin(x-Пи/6); б)tg(Пи/8-x)=tg(Пи/6 + 2x); в)cos(x-Пи/4)=cos(2x+Пи/4); г)ctg2x=ctg3x.

1. а) $$\sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)=\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

   $$ \sin\left(3x+\frac{\pi}{3}\right)-\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=0 $$
   $$ 2\sin\left(\frac{3x+\frac{\pi}{3}+x-\frac{\pi}{6}}{2}\right)\cos\left(\frac{3x+\frac{\pi}{3}-(x-\frac{\pi}{6})}{2}\right)=0 $$
   $$ 2\sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

   Отсюда:

   $$ \sin\left(2x+\frac{\pi}{12}\right)=0 \quad \text{или} \quad \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

   $$ 2x+\frac{\pi}{12}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} $$
   $$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\pi n $$

   Но второе семейство входит в первое при нечётных $n$, поэтому можно записать ответ в виде двух серий:

   $$ x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z $$

2. б) $$\tg\left(\frac{\pi}{8}-x\right)=\tg\left(\frac{\pi}{6}+2x\right)$$

   Для тангенса равенство выполняется, когда аргументы отличаются на $\,\pi n$:

   $$ \frac{\pi}{8}-x=\frac{\pi}{6}+2x+\pi n $$
   $$ -3x=\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{8}+\pi n=\frac{\pi}{24}+\pi n $$
   $$ x=-\frac{\pi}{72}-\frac{\pi n}{3} $$

   Переобозначая $n$, получаем:

   $$ x=-\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z $$

3. в) $$\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$$

   Перенесём в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

   $$ \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)-\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$
   $$ -2\sin\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}+2x+\frac{\pi}{4}}{2}\right)\sin\left(\frac{x-\frac{\pi}{4}-(2x+\frac{\pi}{4})}{2}\right)=0 $$
   $$ -2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\sin\left(-\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

   Следовательно,

   $$ \sin\frac{3x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)=0 $$

   $$ \frac{3x}{2}=\pi n \Rightarrow x=\frac{2\pi n}{3} $$
   $$ \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}=\pi n \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n $$

4. г) $$\ctg 2x=\ctg 3x$$

   Для котангенса равенство выполняется, когда аргументы отличаются на $\,\pi n$:

   $$ 2x=3x+\pi n $$
   $$ x=-\pi n $$

   Но при $x=\pi n$ обе котангенсы не определены, так как $$\sin 2x=0$$ и $$\sin 3x=0$$. Поэтому решений нет.

Ответ

а) $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$
б) $$x=-\frac{\pi}{72}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$
в) $$x=\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
г) решений нет.