Упр.27.60 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Обозначим

$$f(x)=7^x+7^{-x}, \qquad g(x)=2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$f(x)=g(x).$$

Найдём возможные значения обеих функций.

Для функции $$f(x)$$ имеем

$$f'(x)=7^x\ln 7-7^{-x}\ln 7=\ln 7\left(7^x-7^{-x}\right).$$

При $$x<0$$ производная отрицательна, при $$x>0$$ положительна, значит, наименьшее значение $$f(x)$$ достигается при $$x=0$$:

$$f(0)=7^0+7^{-0}=1+1=2.$$

Следовательно, $$f(x)\ge 2$$.

Для функции $$g(x)$$ известно, что

$$-1\le \cos t\le 1,$$

значит,

$$0\le \cos^2 t\le 1,$$

и потому

$$0\le 2\cos^2\frac{x^3+x^2-2x}{6}\le 2.$$

То есть $$g(x)\le 2$$.

Чтобы равенство $$f(x)=g(x)$$ было возможно, нужно, чтобы обе функции принимали одно и то же значение, а это возможно только при

$$f(x)=2,\qquad g(x)=2.$$

Из $$f(x)=2$$ получаем

$$7^x+7^{-x}=2.$$

Положим $$a=7^x>0$$. Тогда

$$a+\frac1a=2,$$

$$a^2-2a+1=0,$$

$$\left(a-1\right)^2=0,$$

$$a=1,$$

откуда

$$7^x=1 \Rightarrow x=0.$$

Проверим:

$$2\cos^2\frac{0^3+0^2-2\cdot 0}{6}=2\cos^2 0=2,$$

а правая часть равна

$$7^0+7^{-0}=1+1=2.$$

Равенство выполняется.

Ответ

$$x=0$$