Упр.27.6 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\left(x^2-6x\right)^5=\left(2x-7\right)^5$$

Так как степени одинаковые, получаем:
$$x^2-6x=2x-7$$
$$x^2-8x+7=0$$
$$D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$$
$$x_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=7$$
$$\left(\sqrt{6x-1}+1\right)^9=\left(\sqrt{6x+8}\right)^9$$

Так как степени одинаковые, имеем:
$$\sqrt{6x-1}+1=\sqrt{6x+8}$$
Возведём в квадрат:
$$ 6x-1+2\sqrt{6x-1}+1=6x+8 $$
$$2\sqrt{6x-1}=8$$
$$\sqrt{6x-1}=4$$
$$6x-1=16$$
$$6x=17$$
$$x=\frac{17}{6}$$
Проверим ОДЗ:
$$6x-1\ge 0,\quad 6x+8\ge 0$$
$$x\ge \frac16,\quad x\ge -\frac43$$
Значит, найденное значение подходит.
$$\left(2^{2x}+16\right)^{20}=\left(10\cdot 2^x\right)^{20}$$

Так как степени одинаковые и основания неотрицательны, получаем:
$$2^{2x}+16=10\cdot 2^x$$
Пусть $$y=2^x,\quad y>0.$$ Тогда:
$$y^2-10y+16=0$$
$$D=10^2-4\cdot 16=100-64=36$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 6}{2}$$
$$y_1=2,\quad y_2=8$$
Тогда:
$$2^x=2 \Rightarrow x=1$$
$$2^x=8=2^3 \Rightarrow x=3$$
$$\left(\log_{0,1}^2 x-2\right)^3=\left(2\log_{0,1}x+1\right)^3$$

Так как степени одинаковые, имеем:
$$\log_{0,1}^2 x-2=2\log_{0,1}x+1$$
$$\log_{0,1}^2 x-2\log_{0,1}x-3=0$$
Пусть $$y=\log_{0,1}x.$$ Тогда:
$$y^2-2y-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}$$
$$y_1=-1,\quad y_2=3$$
Тогда:
$$\log_{0,1}x=-1 \Rightarrow x=0{,}1^{-1}=10$$
$$\log_{0,1}x=3 \Rightarrow x=0{,}1^3=0{,}001$$
Область определения: $$x>0,$$ оба значения подходят.