Упр.27.58 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

1. $$0{,}5x^2+34=2^{3+\cos \pi x}+6x$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$0{,}5x^2-6x+34=2^{3+\cos \pi x}$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=0{,}5x^2-6x+34,\qquad g(x)=2^{3+\cos \pi x}.$$

   Найдём наименьшее значение функции $$f(x)$$:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot 0{,}5}=6,$$

   $$f(6)=0{,}5\cdot 6^2-6\cdot 6+34=16.$$

   Для функции $$g(x)$$ имеем:

   $$-1\le \cos \pi x\le 1,$$

   $$2\le 3+\cos \pi x\le 4,$$

   $$4\le 2^{3+\cos \pi x}\le 16.$$

   Значит, наименьшее значение $$g(x)$$ равно $$4$$, а наибольшее — $$16$$. Равенство $$f(x)=g(x)$$ возможно при $$x=6$$:

   $$f(6)=16,\qquad g(6)=2^{3+\cos 6\pi}=2^4=16.$$

2. $$20x-100x^2=5^{\sqrt{1-\tg 2{,}5\pi x}}$$

   Рассмотрим функции

   $$f(x)=20x-100x^2,\qquad g(x)=5^{\sqrt{1-\tg 2{,}5\pi x}}.$$

   Для левой части:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{20}{2\cdot(-100)}=0{,}1,$$

   $$f(0{,}1)=20\cdot 0{,}1-100\cdot 0{,}1^2=1.$$

   Для правой части нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$1-\tg 2{,}5\pi x\ge 0,$$

   тогда

   $$g(x)=5^{\sqrt{1-\tg 2{,}5\pi x}}\ge 5^0=1.$$

   При $$x=0{,}1$$ получаем:

   $$g(0{,}1)=5^{\sqrt{1-\tg \frac{\pi}{4}}}=5^{\sqrt{1-1}}=1.$$

   Следовательно, $$x=0{,}1$$ — решение.

3. $$|2x^2-11x+5|+\tg^2 \pi x=0$$

   Сумма двух неотрицательных выражений равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:

   $$ \begin{cases} |2x^2-11x+5|=0,\\ \tg^2 \pi x=0. \end{cases} $$

   Отсюда

   $$2x^2-11x+5=0,$$

   $$\tg \pi x=0.$$

   Решим квадратное уравнение:

   $$D=11^2-4\cdot 2\cdot 5=121-40=81,$$

   $$x=\frac{11\pm 9}{4},\qquad x_1=\frac12,\ x_2=5.$$

   Из условия $$\tg \pi x=0$$ получаем $$x=n,\ n\in \mathbb{Z}.$$

   Из найденных корней этому условию удовлетворяет только $$x=5$$.

4. $$7-|2x^2-7x+3|=\frac{7}{\cos^2 \pi x}$$

   Перепишем:

   $$7-\frac{7}{\cos^2 \pi x}=|2x^2-7x+3|.$$

   Правая часть неотрицательна, значит и левая должна быть неотрицательной. Так как

   $$\cos^2 \pi x\le 1,$$

   то

   $$\frac{7}{\cos^2 \pi x}\ge 7,$$

   следовательно,

   $$7-\frac{7}{\cos^2 \pi x}\le 0.$$

   Чтобы равенство было возможно, нужно

   $$7-\frac{7}{\cos^2 \pi x}=0,$$

   то есть

   $$\cos^2 \pi x=1.$$

   Тогда

   $$\cos \pi x=\pm 1 \quad \Rightarrow \quad x=n,\ n\in \mathbb{Z}.$$

   Подставим в уравнение:

   $$|2n^2-7n+3|=0,$$

   $$2n^2-7n+3=0.$$

   $$D=49-24=25,$$

   $$n=\frac{7\pm 5}{4},\qquad n_1=\frac12,\ n_2=3.$$

   Целое значение даёт только $$n=3$$, значит $$x=3$$.

Ответ

а) $$6$$; б) $$0{,}1$$; в) $$5$$; г) $$3$$.