Упр.27.57 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

а) Рассмотрим сумму двух неотрицательных выражений. Она равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$ \begin{cases} \ln^2(x^2-3x-9)=0,\\ \sqrt{x^3-8x-8}=0. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ \ln^2(x^2-3x-9)=0 \;\Rightarrow\; \ln(x^2-3x-9)=0 \;\Rightarrow\; x^2-3x-9=1. $$

$$ x^2-3x-10=0 \;\Rightarrow\; (x-5)(x+2)=0, $$

$$ x=5 \text{ или } x=-2. $$

Из второго уравнения:

$$ \sqrt{x^3-8x-8}=0 \;\Rightarrow\; x^3-8x-8=0. $$

$$ x^3-8x-8=(x+2)(x^2-2x-4)=0. $$

$$ x=-2,\quad x=1\pm \sqrt{5}. $$

Общим корнем двух уравнений является только $$x=-2$$.

б) Аналогично, сумма двух неотрицательных выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:

$$ \begin{cases} \operatorname{arctg}^4(x^3+2x^2-x-2)=0,\\ \sqrt[6]{x^4+x^3+2x^2-x-3}=0. \end{cases} $$

Тогда

$$ \begin{cases} x^3+2x^2-x-2=0,\\ x^4+x^3+2x^2-x-3=0. \end{cases} $$

Решим первое уравнение:

$$ x^3+2x^2-x-2=(x+2)(x^2-1)=(x+2)(x-1)(x+1)=0. $$

$$ x=-2,\,-1,\,1. $$

Разложим второе уравнение:

$$ x^4+x^3+2x^2-x-3=(x-1)(x^3+2x^2+4x+3). $$

$$ x^3+2x^2+4x+3=(x+1)(x^2+x+3), $$

значит

$$ x^4+x^3+2x^2-x-3=(x-1)(x+1)(x^2+x+3)=0. $$

Из этого уравнения получаем действительные корни:

$$ x=-1,\quad x=1. $$

Общие корни системы: $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Ответ

а) $$-2$$; б) $$-1,\ 1$$.