Упр.27.56 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня!Сайт решак.ру отлично работает на мобильных телефонах, им можно успешно пользоваться во время урока. Телефон хорошо прячется за учебником или рукавом. Или можно сказать, что забыли учебник дома, а на телефоне у вас электронный.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$\log_2(x^2-4x+8)=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$
Обозначим
$$y=\log_2(x^2-4x+8), \qquad g=\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}.$$
Найдём наименьшее значение функции $$y(x)$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,$$
$$y(2)=\log_2(2^2-4\cdot 2+8)=\log_2 4=2.$$
Значит, $$y(x)\ge 2.$$
Теперь оценим правую часть:
$$\sin\frac{5\pi x}{4}-\cos\frac{\pi x}{2}\le 2.$$
Равенство достигается при $$x=2$$:
$$g(2)=\sin\frac{5\pi\cdot 2}{4}-\cos\frac{\pi\cdot 2}{2}=\sin\frac{5\pi}{2}-\cos\pi=1-(-1)=2.$$
Следовательно, уравнение выполняется при $$x=2$$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\log_3(x^2+4x+13)=\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$
Обозначим
$$y=\log_3(x^2+4x+13), \qquad g=\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}.$$
Найдём наименьшее значение функции $$y(x)$$:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 1}=-2,$$
$$y(-2)=\log_3\bigl((-2)^2+4\cdot(-2)+13\bigr)=\log_3 9=2.$$
Значит, $$y(x)\ge 2.$$
Оценим правую часть:
$$\cos \pi x-\sin\frac{\pi x}{4}\le 2.$$
Равенство достигается при $$x=-2$$:
$$g(-2)=\cos(-2\pi)-\sin\frac{-2\pi}{4}=\cos 2\pi+\sin\frac{\pi}{2}=1+1=2.$$
Следовательно, уравнение выполняется при $$x=-2$$.