Упр.27.55 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.55 а)корень x2-2x+2 + log3(корень x2-2x+10)=2; б)(x-7)6+log5(корень x2-14x+74)=1

а) Перепишем уравнение в виде

$$\sqrt{(x-1)^2+1}+\log_3\sqrt{(x-1)^2+9}=2.$$

Так как

$$\sqrt{(x-1)^2+1}\ge 1,$$

а также

$$\log_3\sqrt{(x-1)^2+9}\ge \log_3 3=1,$$

то левая часть не меньше $$2$$. Равенство возможно только тогда, когда оба слагаемых принимают наименьшие значения:

$$\sqrt{(x-1)^2+1}=1,$$

$$\log_3\sqrt{(x-1)^2+9}=1.$$

Из первого равенства получаем

$$ (x-1)^2=0, \quad x=1.$$

Проверка во втором уравнении:

$$\sqrt{(1-1)^2+9}=3,\qquad \log_3 3=1.$$

Значит, $$x=1$$.

б) Перепишем уравнение:

$$ (x-7)^6+\log_5\sqrt{x^2-14x+74}=1.$$

Заметим, что

$$x^2-14x+74=(x-7)^2+25,$$

поэтому

$$ (x-7)^6+\log_5\sqrt{(x-7)^2+25}=1.$$

Так как

$$ (x-7)^6\ge 0,$$

а

$$\log_5\sqrt{(x-7)^2+25}\ge \log_5 5=1,$$

то левая часть не меньше $$1$$. Равенство возможно только при

$$ (x-7)^6=0,$$

$$\log_5\sqrt{(x-7)^2+25}=1.$$

Из первого равенства имеем

$$x=7.$$

Проверка:

$$\sqrt{7^2-14\cdot 7+74}=\sqrt{25}=5,\qquad \log_5 5=1.$$

Следовательно, $$x=7$$.

Ответ

а) $$1$$; б) $$7$$.