Упр.27.54 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.54 а)sin 5Пи/4 * x = x2-4x+5;б)-cos7Пиx=x2-6x+10.

а) Рассмотрим уравнение

$$\sin \frac{5\pi}{4}x=x^2-4x+5.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-4x+5=(x-2)^2+1.$$

Так как

$$-1\le \sin \frac{5\pi}{4}x\le 1,$$

то левая часть не превосходит $$1$$. Значит, и правая часть должна быть равна $$1$$:

$$ (x-2)^2+1=1.$$

Отсюда

$$ (x-2)^2=0,$$

$$x=2.$$

Проверка:

$$\sin \frac{5\pi}{4}\cdot 2=\sin \frac{5\pi}{2}=\sin \frac{\pi}{2}=1,$$

$$2^2-4\cdot 2+5=1.$$

Равенство выполняется.

б) Рассмотрим уравнение

$$-\cos 7\pi x=x^2-6x+10.$$

Преобразуем правую часть:

$$x^2-6x+10=(x-3)^2+1.$$

Так как

$$-1\le -\cos 7\pi x\le 1,$$

а

$$ (x-3)^2+1\ge 1,$$

то равенство возможно только при

$$ (x-3)^2+1=1.$$

Следовательно,

$$ (x-3)^2=0,$$

$$x=3.$$

Проверка:

$$-\cos 7\pi\cdot 3=-\cos 21\pi=-\cos \pi=1,$$

$$3^2-6\cdot 3+10=1.$$

Равенство выполняется.

Ответ

а) $$x=2$$; б) $$x=3$$.