Упр.27.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.53 а)2-x- корень 5 степени x=0;б)log5(x)-1 + (x-5)3=0.

а) $$2-x-\sqrt[5]{x}=0.$$

Перенесём один из корней в другую часть:

$$2-x=\sqrt[5]{x}.$$

Рассмотрим функции $$f(x)=2-x$$ и $$g(x)=\sqrt[5]{x}.$$

Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$, значит, уравнение может иметь не более одного решения.

Проверим $$x=1$$:

$$2-1-\sqrt[5]{1}=1-1=0.$$

Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения.

б) $$\log_5 x-1+(x-5)^3=0.$$

Перенесём одно слагаемое:

$$\log_5 x-1=-(x-5)^3,$$

или

$$\log_5 x-1=(5-x)^3.$$

Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x-1$$ и $$g(x)=(5-x)^3.$$

На области определения $$x>0$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а функция $$g(x)$$ убывает. Значит, уравнение имеет не более одного решения.

Проверим $$x=5$$:

$$\log_5 5-1+(5-5)^3=1-1+0=0.$$

Следовательно, $$x=5$$ — корень уравнения.

Ответ

а) $$1$$; б) $$5$$.