Упр.27.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.51 а)2(5x-1)(sinx-корень 3/2)log0,5(x+4)=0; б)(sin2x+cos2x)(x-8корень 2x-15)=0.

Подробный ответ

а) Рассмотрим произведение
$$2^{5x-1}\left(\sin x-\frac{\sqrt3}{2}\right)\log_{0,5}(x+4)=0.$$
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $$2^{5x-1}=0$$ — решений нет, так как показательная функция всегда положительна.
2) $$\sin x-\frac{\sqrt3}{2}=0,$$ откуда
$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$\log_{0,5}(x+4)=0,$$ значит
$$x+4=1,\quad x=-3.$$
Проверим область определения логарифма:
$$x+4>0,\quad x>-4.$$
Число $$-3$$ подходит, а значения $$x=(-1)^n\frac{\pi}{3}+\pi n$$ удовлетворяют ОДЗ при тех $$n$$, для которых $$x>-4$$.
б) Рассмотрим уравнение
$$\left(\sin 2x+\cos 2x\right)\left(x-8\sqrt{2x-15}\right)=0.$$
Тогда:
1) $$\sin 2x+\cos 2x=0.$$ Делим на $$\cos 2x$$:
$$\tan 2x+1=0,$$
$$\tan 2x=-1,$$
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$x-8\sqrt{2x-15}=0.$$ Тогда
$$x=8\sqrt{2x-15}.$$
Возведём в квадрат:
$$x^2=64(2x-15),$$
$$x^2=128x-960,$$
$$x^2-128x+960=0.$$
Найдём корни:
$$D=128^2-4\cdot 960=12544,$$
$$x_{1,2}=\frac{128\pm 112}{2}.$$
Отсюда
$$x_1=8,\quad x_2=120.$$
Проверим ОДЗ:
$$2x-15\ge 0,\quad x\ge \frac{15}{2}.$$
Оба значения подходят.