Упр.27.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.50 а) корень x sinxlog2(x)=0; б)корень 3x + 1cos2xlgx-0.

а) $$\sqrt{x}\cdot \sin x \cdot \log_2 x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0,$$
$$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in \mathbb{Z},$$
$$\log_2 x=0 \Rightarrow x=1.$$

Учитываем область определения: $$x>0.$$

Значение $$x=0$$ не подходит, а из решений $$x=\pi n$$ остаются только положительные при $$n\in \mathbb{N}.$$

Итак, $$x=1$$ и $$x=\pi n,\; n\in \mathbb{N}.$$

б) $$\sqrt{3x+1}\cdot \cos 2x \cdot \lg x=0.$$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sqrt{3x+1}=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac13,$$
$$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z},$$
$$\lg x=0 \Rightarrow x=1.$$

Область определения:

$$3x+1\ge 0,\quad x>0.$$

Следовательно, $$x=-\frac13$$ не подходит. Остаются решения:

$$x=1,$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z},$$
при условии $$x>0.$$

Ответ

а) $$x=1,\; x=\pi n,\; n\in \mathbb{N};$$

б) $$x=1,\; x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z},\; x>0.$$