Упр.27.5 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.5. a) log3(х2 — 10х + 40) = log3(4х — 8); б) log0,8 (9x — 4×2) = log0,8 (х3 + 4×2); в) log корень 3(x-2)/(2x-4) = log корень 3(x+1)/(x+2); г) log0,1 корень 5х — 6 = log0,1 корень x2 — 2.

1. а) $$\log_3(x^2-10x+40)=\log_3(4x-8)$$

   Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, приравниваем аргументы:

   $$x^2-10x+40=4x-8$$

   $$x^2-14x+48=0$$

   $$D=14^2-4\cdot 48=196-192=4$$

   $$x_{1,2}=\frac{14\pm 2}{2}$$

   $$x_1=6,\quad x_2=8$$

   Проверка показывает, что оба корня подходят.

2. б) $$\log_{0,8}(9x-4x^2)=\log_{0,8}(x^3+4x^2)$$

   Приравниваем аргументы:

   $$9x-4x^2=x^3+4x^2$$

   $$x^3+8x^2-9x=0$$

   $$x(x^2+8x-9)=0$$

   $$x(x+9)(x-1)=0$$

   Получаем кандидаты: $$x=0,\,-9,\,1$$.

   Проверим область определения:

   $$9x-4x^2>0,\qquad x^3+4x^2>0$$

   Подходит только $$x=1$$.

3. в) $$\log_{\sqrt{3}}\frac{x-2}{2x-4}=\log_{\sqrt{3}}\frac{x+1}{x+2}$$

   Приравниваем аргументы:

   $$\frac{x-2}{2x-4}=\frac{x+1}{x+2}$$

   Так как $$2x-4=2(x-2)$$, то при $$x\ne 2$$ имеем:

   $$\frac{x-2}{2(x-2)}=\frac{x+1}{x+2}$$

   $$\frac12=\frac{x+1}{x+2}$$

   $$x+2=2x+2$$

   $$x=0$$

   Проверка ОДЗ: $$x\ne 2,\; x\ne -2$$, значит $$x=0$$ подходит.

4. г) $$\log_{0,1}\sqrt{5x-6}=\log_{0,1}\sqrt{x^2-2}$$

   Приравниваем аргументы:

   $$\sqrt{5x-6}=\sqrt{x^2-2}$$

   $$5x-6=x^2-2$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9$$

   $$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$

   $$x_1=1,\quad x_2=4$$

   Проверка ОДЗ: $$5x-6>0,\; x^2-2>0$$. Подходит только $$x=4$$.

Ответ

а) $$6,\;8$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$4$$.