Упр.27.49 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.49 а)log2(sinx)=log2(-cosx); б)log3(cosx)=log3(-sinx).

1. а) Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, то равны их аргументы:

   $$\sin x=-\cos x.$$

   Если $$\cos x\neq 0,$$ разделим обе части на $$\cos x$$:

   $$\tg x=-1.$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим область определения:

   $$\sin x>0,\qquad -\cos x>0.$$

   Значит,

   $$\sin x>0,\qquad \cos x<0,$$

   то есть $$x$$ должен лежать во II четверти. Среди найденных решений этому условию удовлетворяют

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. б) Аналогично получаем:

   $$\cos x=-\sin x.$$

   Если $$\cos x\neq 0,$$ разделим обе части на $$\cos x$$:

   $$\tg x=-1.$$

   Тогда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Проверим область определения:

   $$\cos x>0,\qquad -\sin x>0.$$

   Следовательно,

   $$\cos x>0,\qquad \sin x<0,$$

   то есть $$x$$ должен лежать в IV четверти. Подходящие решения:

   $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$