Упр.27.48 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.48 а)log1/6(2sinx — 1)=log1/6(2-sin2(x)); б)log5(2cos2(x)-1)=log5(-11cosx+5).

а) Рассмотрим уравнение

$$\log_{\frac16}(2\sin x-1)=\log_{\frac16}(2-\sin^2 x).$$

Так как основания логарифмов одинаковые и больше нуля, то при равенстве логарифмов равны их аргументы:

$$2\sin x-1=2-\sin^2 x.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\sin^2 x+2\sin x-3=0.$$

Положим $$y=\sin x$$. Тогда

$$y^2+2y-3=0,$$

$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$

$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\qquad y_2=\frac{-2+4}{2}=1.$$

Значение $$\sin x=-3$$ невозможно, так как $$-1\le \sin x\le 1.$$

Остаётся:

$$\sin x=1,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверка области определения:

$$2\sin x-1>0,\qquad 2-\sin^2 x>0.$$

При $$\sin x=1$$ оба аргумента положительны, значит решение подходит.

б) Рассмотрим уравнение

$$\log_5(2\cos^2 x-1)=\log_5(-11\cos x+5).$$

При равных основаниях логарифмов получаем:

$$2\cos^2 x-1=-11\cos x+5.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$2\cos^2 x+11\cos x-6=0.$$

Положим $$y=\cos x$$. Тогда

$$2y^2+11y-6=0,$$

$$D=11^2+4\cdot 2\cdot 6=169,$$

$$y_1=\frac{-11-13}{4}=-6,\qquad y_2=\frac{-11+13}{4}=\frac12.$$

Значение $$\cos x=-6$$ невозможно, так как $$-1\le \cos x\le 1.$$

Остаётся:

$$\cos x=\frac12,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Проверим область определения:

$$2\cos^2 x-1>0,\qquad -11\cos x+5>0.$$

При $$\cos x=\frac12$$ получаем

$$2\cdot \left(\frac12\right)^2-1=-\frac12<0,$$

то есть аргумент первого логарифма не положителен. Следовательно, найденное значение не подходит.

Корней нет.

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) Корней нет.