Упр.27.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.45 а)log10/7(lg(x+1)-1)^-1 — log0,7(3lg(x+1)-1)-log0,7(lg(x+1)+3); б)log корень 3 (3x — 2 корень 3x-1)=2log3(2 корень (3x-1) + 1).

Подробный ответ

а) Обозначим $$y=\lg(x+1).$$ Тогда уравнение примет вид
$$\log_{\frac{10}{7}}(y-1)^{-1}=\log_{0,7}(3y-1)-\log_{0,7}(y+3).$$
Так как $$\log_{\frac{10}{7}}a=\log_{0,7}a^{-1},$$ получаем
$$\log_{0,7}(y-1)=\log_{0,7}\frac{3y-1}{y+3}.$$
Следовательно,
$$y-1=\frac{3y-1}{y+3}.$$
Решим уравнение:
$$ (y-1)(y+3)=3y-1 \\ y^2+2y-3=3y-1 \\ y^2-y-2=0 \\ (y-2)(y+1)=0 $$
Отсюда $$y=2$$ или $$y=-1.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\lg(x+1)=2 \Rightarrow x+1=100 \Rightarrow x=99,$$
$$\lg(x+1)=-1 \Rightarrow x+1=0,1 \Rightarrow x=-0,9.$$
Проверим область определения:
$$y-1>0,\quad 3y-1>0,\quad y+3>0.$$
Для $$y=-1$$ условие $$y-1>0$$ не выполняется, значит это значение не подходит.
б) Пусть $$t=\sqrt{3x-1}.$$ Тогда уравнение запишется так:
$$\log_{\sqrt{3}}(3x-2\sqrt{3x-1})=2\log_3(2\sqrt{3x-1}+1).$$
Поскольку $$\log_{\sqrt{3}}a=2\log_3 a,$$ получаем
$$2\log_3(3x-2\sqrt{3x-1})=2\log_3(2\sqrt{3x-1}+1).$$
Тогда
$$3x-2\sqrt{3x-1}=2\sqrt{3x-1}+1.$$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ 3x-1-4\sqrt{3x-1}=0 $$
Обозначим $$t=\sqrt{3x-1}$$, тогда $$t^2=3x-1$$ и
$$t^2-4t=0 \Rightarrow t(t-4)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=4.$$
Тогда
$$\sqrt{3x-1}=0 \Rightarrow 3x-1=0 \Rightarrow x=\frac13,$$
$$\sqrt{3x-1}=4 \Rightarrow 3x-1=16 \Rightarrow x=\frac{17}{3}.$$
Оба значения удовлетворяют области определения $$3x-1\ge 0.$$