Упр.27.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Рассмотрим уравнение
$$10^{\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)}=(0,1)^{\ln(2x+e)^5-1}.$$
Так как $$0,1=10^{-1},$$ получаем
$$10^{\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)}=10^{1-5\ln(2x+e)}.$$
Тогда
$$\ln^2(3x-e)-5\ln(2x+e)=1-5\ln(2x+e),$$
откуда
$$\ln^2(3x-e)=1.$$
Следовательно,
$$\ln(3x-e)=\pm 1.$$
1) $$\ln(3x-e)=1,$$ тогда
$$3x-e=e,$$
$$3x=2e,$$
$$x=\frac{2e}{3}.$$
2) $$\ln(3x-e)=-1,$$ тогда
$$3x-e=\frac{1}{e},$$
$$3x=e+\frac{1}{e}=\frac{e^2+1}{e},$$
$$x=\frac{e^2+1}{3e}.$$
Проверим область определения:
$$3x-e>0,\quad 2x+e>0.$$
Оба найденных значения удовлетворяют ОДЗ.
б) Рассмотрим уравнение
$$\lg(9^x+3^{x+1}-1)-\lg(3^x-2\cdot 9^x)=0.$$
Перенесём логарифмы в один:
$$\lg(9^x+3^{x+1}-1)=\lg(3^x-2\cdot 9^x).$$
Тогда
$$9^x+3^{x+1}-1=3^x-2\cdot 9^x.$$
Положим $$t=3^x,\quad t>0.$$ Тогда $$9^x=t^2,$$ и получаем
$$t^2+3t-1=t-2t^2.$$
Переносим всё в одну сторону:
$$3t^2+2t-1=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-1)=4+12=16,$$
$$t_{1,2}=\frac{-2\pm 4}{2\cdot 3}.$$
Получаем
$$t_1=\frac{1}{3},\quad t_2=-1.$$
Так как $$t>0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит. Значит,
$$3^x=\frac{1}{3}=3^{-1},$$
откуда
$$x=-1.$$
Проверка ОДЗ:
$$3^x-2\cdot 9^x>0$$
при $$x=-1$$ выполняется.