Упр.27.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.43 а)ln(0,2x-7)=ln(9-3*0,2x); б)9log3(x)-12*3log3(x)+3log3(27)=0; в)elg(x-2)*1/e=(e^-1)lg(x+1); г)log5(2+3*5(-x))=x+1.

Подробный ответ

$$\ln(0{,}2^x-7)=\ln(9-3\cdot 0{,}2^x)$$
Так как логарифмы равны, то равны их аргументы:
$$0{,}2^x-7=9-3\cdot 0{,}2^x$$
$$4\cdot 0{,}2^x=16$$
$$0{,}2^x=4$$
Но $$0{,}2^x=\left(\frac15\right)^x>0$$ и не может быть равно $$4$$ при выполнении области определения.
Проверим ОДЗ:
$$0{,}2^x-7>0 \Rightarrow 0{,}2^x>7$$
$$9-3\cdot 0{,}2^x>0 \Rightarrow 0{,}2^x<3$$
Одновременно это невозможно, значит корней нет.
$$9^{\log_3 x}-12\cdot 3^{\log_3 x}+3^{\log_3 27}=0$$
Пусть $$t=3^{\log_3 x}=x$$, тогда
$$9^{\log_3 x}=\left(3^2\right)^{\log_3 x}=\left(3^{\log_3 x}\right)^2=t^2=x^2,$$
а также $$3^{\log_3 27}=27.$$ Получаем:
$$x^2-12x+27=0$$
$$D=12^2-4\cdot 27=144-108=36$$
$$x_{1,2}=\frac{12\pm 6}{2}$$
$$x_1=3,\quad x_2=9$$
ОДЗ: $$x>0$$, оба корня подходят.
$$e^{\lg(x-2)}\cdot \frac1e=\left(e^{-1}\right)^{\lg(x+1)}$$
$$e^{\lg(x-2)-1}=e^{-\lg(x+1)}$$
Так как основания равны, приравниваем показатели:
$$\lg(x-2)-1=-\lg(x+1)$$
$$\lg(x-2)+\lg(x+1)=1$$
$$\lg\bigl((x-2)(x+1)\bigr)=\lg 10$$
$$ (x-2)(x+1)=10$$
$$x^2-x-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{2}$$
$$x_1=4,\quad x_2=-3$$
По ОДЗ: $$x-2>0,\ x+1>0 \Rightarrow x>2$$. Подходит только $$x=4$$.
$$\log_5(2+3\cdot 5^{-x})=x+1$$
Переходим к показательной форме:
$$2+3\cdot 5^{-x}=5^{x+1}$$
Умножим на $$5^x$$:
$$2\cdot 5^x+3=5\cdot 5^{2x}$$
Пусть $$t=5^x,\ t>0$$. Тогда
$$5t^2-2t-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-3)=64$$
$$t_{1,2}=\frac{2\pm 8}{10}$$
$$t_1=1,\quad t_2=-\frac35$$
Так как $$t>0$$, берём $$t=1$$:
$$5^x=1 \Rightarrow x=0$$