Упр.27.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

$$\log_{0{,}5}^2 x+12=7\log_2 x$$
Так как $$\log_{0{,}5}x=-\log_2 x,$$ получаем
$$\log_2^2 x-7\log_2 x+12=0.$$
Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда
$$t^2-7t+12=0,$$
$$D=49-48=1,$$
$$t_1=\frac{7-1}{2}=3,\qquad t_2=\frac{7+1}{2}=4.$$
Следовательно,
$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=8,$$
$$\log_2 x=4 \Rightarrow x=16.$$
$$\log_{0{,}5}^2 x-6\log_{\frac{1}{\sqrt2}}\sqrt{x}+8=0$$
Преобразуем основания логарифмов:
$$\log_{0{,}5}x=-\log_2 x,\qquad \log_{\frac{1}{\sqrt2}}\sqrt{x}=-\log_2\sqrt{x}=-\frac12\log_2 x.$$
Тогда
$$\log_2^2 x+6\log_2 x+8=0.$$
Пусть $$t=\log_2 x.$$ Получаем
$$t^2+6t+8=0,$$
$$D=36-32=4,$$
$$t_1=\frac{-6-2}{2}=-4,\qquad t_2=\frac{-6+2}{2}=-2.$$
Значит,
$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=\frac{1}{16},$$
$$\log_2 x=-2 \Rightarrow x=\frac{1}{4}.$$
$$9\log_8^2 x=11\log_2 x+12$$
Так как $$\log_8 x=\frac13\log_2 x,$$ то
$$9\left(\frac13\log_2 x\right)^2=11\log_2 x+12,$$
$$\log_2^2 x-11\log_2 x-12=0.$$
Пусть $$t=\log_2 x.$$ Тогда
$$t^2-11t-12=0,$$
$$D=121+48=169,$$
$$t_1=\frac{11-13}{2}=-1,\qquad t_2=\frac{11+13}{2}=12.$$
Следовательно,
$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=\frac12,$$
$$\log_2 x=12 \Rightarrow x=4096.$$
$$\sqrt{\log_2 x+11}=3\log_8 x-1$$
Так как $$\log_8 x=\frac13\log_2 x,$$ получаем
$$\sqrt{\log_2 x+11}=\log_2 x-1.$$
Обозначим $$t=\log_2 x.$$ Тогда
$$\sqrt{t+11}=t-1.$$
Возведём в квадрат:
$$t+11=(t-1)^2=t^2-2t+1,$$
$$t^2-3t-10=0.$$
$$D=9+40=49,$$
$$t_1=\frac{3-7}{2}=-2,\qquad t_2=\frac{3+7}{2}=5.$$
Проверим область допустимых значений: $$t-1\ge 0,$$ значит $$t\ge 1.$$ Подходит только $$t=5.$$
Тогда
$$\log_2 x=5 \Rightarrow x=32.$$