Упр.27.4 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.4. а) 0,5(sinx-cosx) = 1; б) (корень 3)(sin2(x)*3корень 3= корень 4 степени 729.
а) $$0{,}5^{\sin x-\cos x}=1.$$
Представим $$1$$ как степень с основанием $$0{,}5$$:
$$0{,}5^{\sin x-\cos x}=0{,}5^0.$$
Тогда показатели равны:
$$\sin x-\cos x=0.$$
$$\sin x=\cos x,$$
$$\tg x=1.$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=\sqrt[4]{729}.$$
Преобразуем правую часть:
$$\sqrt[4]{729}=\sqrt[4]{3^6}=3^{6/4}=3^{3/2}=3\sqrt{3}.$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$$
Делим обе части на $$3\sqrt{3}$$:
$$\left(\sqrt{3}\right)^{\sin^2 x-1}=1.$$
Так как $$\sqrt{3}\neq 1,$$ получаем:
$$\sin^2 x-1=0,$$
$$\sin^2 x=1,$$
$$\sin x=\pm 1.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z};$$ б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb{Z}.$$
