Упр.27.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 27.39 а)2x*5((1+x)/x)=50; в)3(x-1)*625((x-2)/(x-1))=225; б)3x*2(3/x)=24; г)5x*2((2+x)/x)=40.

1. а) $$2^x \cdot 5^{\frac{1+x}{x}}=50$$

   Так как $$50=2\cdot 5^2,$$ получаем

   $$2^x \cdot 5^{\frac{1}{x}+1}=2\cdot 5^2.$$

   Делим обе части на $$2\cdot 5^2$$:

   $$2^{x-1}\cdot 5^{\frac{1}{x}-1}=1.$$

   Переходим к логарифмам:

   $$x\log_2 2+\frac{1}{x}\log_2 5=\log_2 5+1.$$

   $$x+\frac{\log_2 5}{x}=1+\log_2 5.$$

   Умножим на $$x$$:

   $$x^2-(1+\log_2 5)x+\log_2 5=0.$$

   $$D=(1+\log_2 5)^2-4\log_2 5=(1-\log_2 5)^2.$$

   $$x_{1,2}=\frac{(1+\log_2 5)\pm(1-\log_2 5)}{2}.$$

   Отсюда

   $$x_1=\log_2 5,\qquad x_2=1.$$

2. б) $$3^x\cdot 2^{\frac{3}{x}}=24$$

   Так как $$24=3\cdot 2^3,$$ имеем

   $$3^x\cdot 2^{\frac{3}{x}}=3\cdot 2^3.$$

   Переходим к логарифмам по основанию $$3$$:

   $$x+\frac{3}{x}\log_3 2=1+3\log_3 2.$$

   После преобразований получаем квадратное уравнение

   $$x^2-(1+3\log_3 2)x+3\log_3 2=0.$$

   $$D=(1-3\log_3 2)^2.$$

   Тогда

   $$x_1=1,\qquad x_2=3\log_3 2.$$

3. в) $$3^{x-1}\cdot 625^{\frac{x-2}{x-1}}=225$$

   ОДЗ: $$x\ne 1.$$

   Представим числа в виде степеней:

   $$625=5^4,\qquad 225=3^2\cdot 5^2.$$

   Тогда

   $$3^{x-1}\cdot 5^{\frac{4(x-2)}{x-1}}=3^2\cdot 5^2.$$

   Переходим к логарифмам по основанию $$3$$:

   $$x-1+\frac{4(x-2)}{x-1}\log_3 5=2+2\log_3 5.$$

   После преобразований получаем

   $$\left(x-1\right)^2+\left(2\log_3 5-2\right)\left(x-1\right)-4\log_3 5=0.$$

   Положим $$y=x-1$$. Тогда

   $$y^2+\left(2\log_3 5-2\right)y-4\log_3 5=0.$$

   $$D=\left(2\log_3 5+2\right)^2.$$

   Отсюда

   $$y_1=-2\log_3 5,\qquad y_2=2.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$x_1=1-2\log_3 5=\log_3\frac{3}{25}=\log_3 0{,}12,$$

   $$x_2=3.$$

4. г) $$5^x\cdot 2^{\frac{2+x}{x}}=40$$

   Так как $$40=2^3\cdot 5,$$ имеем

   $$5^x\cdot 2^{\frac{2}{x}+1}=2^3\cdot 5.$$

   Переходим к логарифмам по основанию $$5$$:

   $$x+\frac{2}{x}\log_5 2=1+2\log_5 2.$$

   После преобразований получаем

   $$x^2-(1+2\log_5 2)x+2\log_5 2=0.$$

   $$D=(1-2\log_5 2)^2.$$

   Тогда

   $$x_1=1,\qquad x_2=2\log_5 2=\log_5 4.$$

Ответ

а) $$x=\log_2 5,\ 1$$; б) $$x=1,\ 3\log_3 2$$; в) $$x=\log_3 0{,}12,\ 3$$; г) $$x=1,\ \log_5 4$$.