Упр.27.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.38. а) 8корень x — 3 * 4 корень x — 3 * 2((корень x)+1) +8 = 0; б)4log5(x) — 6*2log5(x)+2log5(125)=0.

а) Обозначим $$y=2^{\sqrt{x}}.$$ Тогда $$8^{\sqrt{x}}=(2^3)^{\sqrt{x}}=2^{3\sqrt{x}}=y^3,$$ $$4^{\sqrt{x}}=(2^2)^{\sqrt{x}}=2^{2\sqrt{x}}=y^2,$$ $$2^{\sqrt{x}+1}=2\cdot 2^{\sqrt{x}}=2y.$$ Получаем уравнение

$$y^3-3y^2-6y+8=0.$$

Разложим на множители:

$$y^3-3y^2-6y+8=(y-1)(y^2-2y-8)=0.$$

Тогда

$$y=1,\quad y=4,\quad y=-2.$$

Так как $$y=2^{\sqrt{x}}>0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит.

1) $$2^{\sqrt{x}}=1 \Rightarrow \sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0.$$

2) $$2^{\sqrt{x}}=4 \Rightarrow \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4.$$

б) Обозначим $$y=2^{\log_5 x}.$$ Тогда $$4^{\log_5 x}=2^{2\log_5 x}=y^2,$$ а $$2^{\log_5 125}=2^3=8.$$ Получаем

$$y^2-6y+8=0.$$

Разложим на множители:

$$y^2-6y+8=(y-2)(y-4)=0.$$

Тогда

$$y=2,\quad y=4.$$

1) $$2^{\log_5 x}=2 \Rightarrow \log_5 x=1 \Rightarrow x=5.$$

2) $$2^{\log_5 x}=4 \Rightarrow \log_5 x=2 \Rightarrow x=25.$$

Ответ

а) $$0,\ 4$$; б) $$5,\ 25$$.