Упр.27.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.37. a) sin x cos x — 6 sin x + 6 cos x + 6 = 0; 6) 5 sin 2x — 11 sin x = 11 cos x — 7.

а) Умножим уравнение на $$2$$:

$$2\sin x\cos x-12(\sin x-\cos x)+12=0.$$

Положим $$t=\sin x-\cos x.$$ Тогда

$$t^2=\sin^2 x+\cos^2 x-2\sin x\cos x=1-2\sin x\cos x,$$

откуда

$$2\sin x\cos x=1-t^2.$$

Подставим в уравнение:

$$1-t^2-12t+12=0,$$

$$t^2+12t-13=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=12^2+4\cdot 13=196,$$

$$t_{1,2}=\frac{-12\pm 14}{2}.$$

Получаем:

$$t_1=1,\qquad t_2=-13.$$

Так как $$t=\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значение $$t=-13$$ не подходит.

Значит,

$$\sin x-\cos x=1.$$

Преобразуем:

$$\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$

тогда

$$\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

б) Преобразуем уравнение:

$$5\sin 2x-11\sin x=11\cos x-7,$$

$$10\sin x\cos x-11(\sin x+\cos x)+7=0.$$

Положим $$t=\sin x+\cos x.$$ Тогда

$$t^2=\sin^2 x+\cos^2 x+2\sin x\cos x=1+2\sin x\cos x,$$

откуда

$$2\sin x\cos x=t^2-1.$$

Подставим:

$$10\cdot \frac{t^2-1}{2}-11t+7=0,$$

$$5t^2-11t+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=11^2-4\cdot 5\cdot 2=81,$$

$$t_{1,2}=\frac{11\pm 9}{10}.$$

Получаем:

$$t_1=2,\qquad t_2=\frac15.$$

Так как $$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2],$$ значение $$t=2$$ не подходит.

Значит,

$$\sin x+\cos x=\frac15.$$

Преобразуем:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right),$$

тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac15,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{10}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{\pi}{4}+(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{10}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$