Упр.27.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.36. a) sin3(x) — sin2(x) cos x + 3 cos3(x) = 3 sin x cos2(x); 6) sin3(x) + 5 sin2(x) cos x = 6 cos3(x).

а) Преобразуем уравнение:

$$ \sin^3 x-\sin^2 x\cos x+3\cos^3 x=3\sin x\cos^2 x $$
$$ \sin^3 x-\sin^2 x\cos x+3\cos^3 x-3\sin x\cos^2 x=0 $$
$$ \sin^2 x(\sin x-\cos x)-3\cos^2 x(\sin x-\cos x)=0 $$
$$ (\sin x-\cos x)(\sin^2 x-3\cos^2 x)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x-\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x-3\cos^2 x=0. $$

1) $$\sin x-\cos x=0$$, тогда

$$ \tan x=1, $$
$$ x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2) $$\sin^2 x-3\cos^2 x=0$$, тогда

$$ \tan^2 x=3, $$
$$ \tan x=\pm\sqrt3, $$
$$ x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б) Преобразуем уравнение:

$$ \sin^3 x+5\sin^2 x\cos x=6\cos^3 x $$
$$ \sin^3 x+5\sin^2 x\cos x-6\cos^3 x=0 $$
$$ \cos^3 x\left(\tan^3 x+5\tan^2 x-6\right)=0. $$

Если $$\cos x=0$$, то левая часть исходного уравнения равна $$\sin^3 x=\pm1$$, а правая часть равна $$0$$, значит такие значения не подходят. Поэтому делим на $$\cos^3 x$$:

$$ \tan^3 x+5\tan^2 x-6=0. $$

Пусть $$y=\tan x$$. Тогда

$$ y^3+5y^2-6=0 $$
$$ (y-1)(y^2+6y+6)=0. $$

Отсюда:

$$ y=1 $$
или
$$ y=-3\pm\sqrt3. $$

Значит,

$$ \tan x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n, $$
$$ \tan x=-3\pm\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad x=\arctan(-3\pm\sqrt3)+\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\; x=\arctan(-3\pm\sqrt3)+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$