Упр.27.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.35. a) 3 tg2(x) — 8 = 4 cos2(x); 6) 4 sin2(x) = 4 — 9 tg2 (x).

а) $$3\tg^2 x-8=4\cos^2 x$$

Используем формулу $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$ и умножим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$ 3\sin^2 x-8\cos^2 x=4\cos^4 x $$

Так как $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$, получаем:

$$ 3(1-\cos^2 x)-8\cos^2 x=4\cos^4 x $$
$$ 3-11\cos^2 x-4\cos^4 x=0 $$

Положим $$y=\cos^2 x$$. Тогда:

$$ 4y^2+11y-3=0 $$
$$ D=11^2+4\cdot 4\cdot 3=169 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{8} $$
$$ y_1=-3,\qquad y_2=\frac14 $$

Значение $$y=-3$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0$$.

Остаётся:

$$ \cos^2 x=\frac14 $$
$$ \cos x=\pm \frac12 $$

Отсюда:

$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

б) $$4\sin^2 x=4-9\tg^2 x$$

Заменим $$\tg^2 x=\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}$$ и умножим уравнение на $$\cos^2 x$$:

$$ 4\sin^2 x\cos^2 x=4\cos^2 x-9\sin^2 x $$

Подставим $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$ 4(1-\cos^2 x)\cos^2 x=4\cos^2 x-9(1-\cos^2 x) $$
$$ 4\cos^4 x+9\cos^2 x-9=0 $$

Положим $$y=\cos^2 x$$. Тогда:

$$ 4y^2+9y-9=0 $$
$$ D=9^2+4\cdot 4\cdot 9=225 $$
$$ y_{1,2}=\frac{-9\pm 15}{8} $$
$$ y_1=-3,\qquad y_2=\frac34 $$

Значение $$y=-3$$ не подходит. Тогда:

$$ \cos^2 x=\frac34 $$
$$ \cos x=\pm \frac{\sqrt3}{2} $$

Следовательно,

$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$; б) $$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$.