Упр.27.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.34. a) cos 6x- cos 2x + cos 8x — cos 4x = 0; 6) sin 3x — sin x + cos 3x — cos x = 0.

Подробный ответ

а)

$$ \cos 6x-\cos 2x+\cos 8x-\cos 4x=0 $$
$$ (\cos 6x-\cos 2x)+(\cos 8x-\cos 4x)=0 $$
$$ -2\sin 4x\sin 2x-2\sin 6x\sin 2x=0 $$
$$ -2\sin 2x(\sin 4x+\sin 6x)=0 $$
$$ -2\sin 2x\cdot 2\sin 5x\cos x=0 $$
$$ \sin 2x\cdot \sin 5x\cdot \cos x=0 $$
Отсюда:
$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0. $$
Тогда
$$ 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, $$
$$ 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}, $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Но множество $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ входит в множество $$x=\frac{\pi n}{2}$$, поэтому его можно не выделять отдельно.

б)

$$ \sin 3x-\sin x+\cos 3x-\cos x=0 $$
$$ (\sin 3x-\sin x)+(\cos 3x-\cos x)=0 $$
$$ 2\sin x\cos 2x-2\sin 2x\sin x=0 $$
$$ 2\sin x(\cos 2x-\sin 2x)=0 $$
Отсюда:
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x-\sin 2x=0. $$
1) Если $$\sin x=0$$, то
$$ x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
2) Если $$\cos 2x-\sin 2x=0$$, то
$$ \tan 2x=1, $$
$$ 2x=\frac{\pi}{4}+\pi n, $$
$$ x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z. $$