Упр.27.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.33. a) cos 5x + cos 7x — cos 6x = 0; 6) sin 9x — sin 5x + sin 4x = 0.

а)

$$ \cos 5x+\cos 7x-\cos 6x=0 $$
$$ (\cos 7x+\cos 5x)-\cos 6x=0 $$
$$ 2\cos 6x\cos x-\cos 6x=0 $$
$$ \cos 6x\,(2\cos x-1)=0 $$
Отсюда:
$$ \cos 6x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0. $$
1) Если $$\cos 6x=0,$$ то
$$ 6x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6}. $$
2) Если $$2\cos x-1=0,$$ то
$$ \cos x=\frac12, $$
$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

б)

$$ \sin 9x-\sin 5x+\sin 4x=0 $$
$$ (\sin 9x-\sin 5x)+\sin 4x=0 $$
$$ 2\cos 7x\sin 2x+\sin 4x=0 $$
$$ 2\cos 7x\sin 2x+2\sin 2x\cos 2x=0 $$
$$ 2\sin 2x\,(\cos 7x+\cos 2x)=0 $$
$$ 2\sin 2x\cdot 2\cos \frac{9x}{2}\cos \frac{5x}{2}=0 $$
$$ \sin 2x\cdot \cos \frac{9x}{2}\cdot \cos \frac{5x}{2}=0. $$
Отсюда:
$$ \sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{9x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{5x}{2}=0. $$
1) Если $$\sin 2x=0,$$ то
$$ 2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z, $$
$$ x=\frac{\pi n}{2}. $$
2) Если $$\cos \frac{9x}{2}=0,$$ то
$$ \frac{9x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
$$ x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9}. $$
3) Если $$\cos \frac{5x}{2}=0,$$ то
$$ \frac{5x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n, $$
$$ x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5}. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{6},\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi n}{9},\; x=\frac{\pi}{5}+\frac{2\pi n}{5},\; n\in\mathbb Z.$$