Упр.27.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.32. a) sin2(х) + cos2(2x) = 1; б) cos2(3x) — sin2(3x) — cos4x = 0.

а) $$\sin^2 x+\cos^2 2x=1.$$

Заменим $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ \sin^2 x+(1-2\sin^2 x)^2=1 $$
$$ \sin^2 x+1-4\sin^2 x+4\sin^4 x=1 $$
$$ 4\sin^4 x-3\sin^2 x=0 $$
$$ \sin^2 x(4\sin^2 x-3)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad \sin^2 x=\frac34. $$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{4\pi}{3}+2\pi n,\ \frac{5\pi}{3}+2\pi n.$$

Все эти значения можно записать короче:

$$ x=\frac{\pi n}{3}, \quad n\in\mathbb Z. $$

б) $$\cos^2 3x-\sin^2 3x-\cos 4x=0.$$

Используем формулу $$\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 6x$$:

$$ \cos 6x-\cos 4x=0 $$
$$ -2\sin 5x\sin x=0 $$

Следовательно,

$$ \sin 5x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=0. $$

Если $$\sin x=0,$$ то $$x=\pi n.$$

Если $$\sin 5x=0,$$ то

$$ 5x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb Z. $$

Так как значения $$x=\pi n$$ входят в множество $$x=\frac{\pi n}{5},$$ окончательно получаем:

$$ x=\frac{\pi n}{5}, \quad n\in\mathbb Z. $$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x=\frac{\pi n}{5},\ n\in\mathbb Z.$$