Упр.27.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.31 а)3/(1+x-x2) = 3-x-x2; б)(x2-x)/(x2-x+1)-(x2-x+2)/(x2-x-2) = 1.

а) Обозначим $$y=x^2+x.$$ Тогда уравнение примет вид

$$\frac{3}{1+y}=3-y.$$

Умножим на $$1+y$$:

$$3=(3-y)(1+y).$$

Раскроем скобки:

$$3=3+3y-y-y^2,$$

$$y^2-2y=0,$$

$$y(y-2)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=2$$.

1) Если $$y=0$$, то

$$x^2+x=0,$$

$$x(x+1)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=-1.$$

2) Если $$y=2$$, то

$$x^2+x=2,$$

$$x^2+x-2=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$x=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

Получаем $$x=1$$ или $$x=-2.$$

б) Обозначим $$y=x^2-x.$$ Тогда

$$\frac{y}{y+1}-\frac{y+2}{y-2}=1.$$

Перенесём всё в одну сторону и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{y(y-2)-(y+2)(y+1)}{(y+1)(y-2)}=1,$$

$$y(y-2)-(y+2)(y+1)=(y+1)(y-2).$$

Раскроем скобки:

$$y^2-2y-(y^2+3y+2)=y^2-y-2,$$

$$-5y-2=y^2-y-2,$$

$$y^2+4y=0,$$

$$y(y+4)=0.$$

Отсюда $$y=0$$ или $$y=-4$$.

1) Если $$y=0$$, то

$$x^2-x=0,$$

$$x(x-1)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=1.$$

2) Если $$y=-4$$, то

$$x^2-x=-4,$$

$$x^2-x+4=0.$$

$$D=1-16=-15<0,$$

действительных корней нет.

Ответ

а) $$-2;\,-1;\,0;\,1$$; б) $$0;\,1$$.