Упр.27.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.30. а) x(x — 1)(x — 2)(x — 3) = 15; б) (x — 1)x(x + 1)(x + 2) = 24.

а) Преобразуем произведение:

$$x(x-1)(x-2)(x-3)=15$$

$$\bigl(x^2-3x\bigr)\bigl(x^2-3x+2\bigr)=15$$

Пусть $$y=x^2-3x$$, тогда

$$y(y+2)=15$$

$$y^2+2y-15=0$$

$$D=2^2+4\cdot 15=64$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 8}{2}$$

Получаем:

$$y_1=-5,\quad y_2=3$$

1) Если $$x^2-3x=-5$$, то

$$x^2-3x+5=0$$

$$D=9-20=-11<0$$

Действительных корней нет.

2) Если $$x^2-3x=3$$, то

$$x^2-3x-3=0$$

$$D=9+12=21$$

$$x=\frac{3\pm \sqrt{21}}{2}$$

б)

$$ (x-1)x(x+1)(x+2)=24 $$

Сгруппируем множители:

$$\bigl(x^2-x\bigr)\bigl(x^2+3x+2\bigr)=24$$

Удобнее сделать замену:

$$y=x^2+x$$

Тогда

$$ (y-2)y=24 $$

$$y^2-2y-24=0$$

$$D=4+96=100$$

$$y_{1,2}=\frac{2\pm 10}{2}$$

Получаем:

$$y_1=-4,\quad y_2=6$$

1) Если $$x^2+x=-4$$, то

$$x^2+x+4=0$$

$$D=1-16=-15<0$$

Действительных корней нет.

2) Если $$x^2+x=6$$, то

$$x^2+x-6=0$$

$$D=1+24=25$$

$$x=\frac{-1\pm 5}{2}$$

$$x_1=-3,\quad x_2=2$$

Ответ

а) $$\frac{3-\sqrt{21}}{2},\ \frac{3+\sqrt{21}}{2}$$; б) $$-3,\ 2$$.