Упр.27.27 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 027.27. а) x3 — 6×2 + 11х — 6 = 0; в) x3 + 2×2 + 3х + 6 = 0; б) x3 + 7×2 — 6 = 0; г) х3 + 4×2 — 24 = 0.

Подробный ответ

$$x^3-6x^2+11x-6=0$$
Разложим на множители:
$$x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x^2-5x+6)=0$$
$$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$
Тогда
$$ (x-1)(x-2)(x-3)=0 $$
Отсюда $$x=1,\;2,\;3$$.
$$x^3+7x^2-6=0$$
Проверим целый корень: $$x=-1$$.
Тогда
$$x^3+7x^2-6=(x+1)(x^2+6x-6)=0$$
Решим квадратное уравнение:
$$x^2+6x-6=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot(-6)=36+24=60$$
$$x=\frac{-6\pm\sqrt{60}}{2}=-3\pm\sqrt{15}$$
Итак, $$x=-1,\;-3-\sqrt{15},\;-3+\sqrt{15}$$.
$$x^3+2x^2+3x+6=0$$
Сгруппируем слагаемые:
$$x^2(x+2)+3(x+2)=0$$
$$ (x+2)(x^2+3)=0 $$
Так как $$x^2+3=0$$ не имеет действительных корней, получаем
$$x+2=0,\quad x=-2$$
$$x^3+4x^2-24=0$$
Проверим корень $$x=2$$:
$$2^3+4\cdot 2^2-24=8+16-24=0$$
Значит, $$x-2$$ — множитель:
$$x^3+4x^2-24=(x-2)(x^2+6x+12)=0$$
Рассмотрим квадратное уравнение:
$$x^2+6x+12=0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 12=36-48=-12<0$$
Действительных корней у него нет, значит единственный действительный корень:
$$x=2$$