Упр.27.3 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Решите уравнение: 27.3. а) 2^(корень (x-3)) = 1/2 корень 32; б) 10^(log2(x-3)) * 0,00001 = 0,1^(log2(x-7)).

а) $$2^{\sqrt{x-3}}=\frac12\sqrt{32}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac12\sqrt{32}=2^{-1}\cdot 2^{5/2}=2^{3/2}.$$

Тогда

$$2^{\sqrt{x-3}}=2^{3/2} \Rightarrow \sqrt{x-3}=\frac32.$$

Возводим в квадрат:

$$x-3=\frac94,$$

$$x=\frac{21}{4}=5{,}25.$$

б) $$10^{\log_2(x-3)}\cdot 0{,}00001=0{,}1^{\log_2(x-7)}$$

Запишем числа в виде степеней десяти:

$$0{,}00001=10^{-5}, \qquad 0{,}1=10^{-1}.$$

Тогда

$$10^{\log_2(x-3)}\cdot 10^{-5}=10^{-\log_2(x-7)}.$$

Объединяем степени с одинаковым основанием:

$$10^{\log_2(x-3)-5}=10^{-\log_2(x-7)}.$$

Следовательно,

$$\log_2(x-3)-5=-\log_2(x-7).$$

Переносим логарифмы в одну сторону:

$$\log_2(x-3)+\log_2(x-7)=5.$$

$$\log_2\bigl((x-3)(x-7)\bigr)=5.$$

$$ (x-3)(x-7)=2^5=32.$$

$$x^2-10x+21=32,$$

$$x^2-10x-11=0.$$

$$D=100+44=144,$$

$$x=\frac{10\pm 12}{2}.$$

Получаем:

$$x_1=11,\qquad x_2=-1.$$

С учётом области определения:

$$x-3>0,\quad x-7>0,$$

то есть $$x>7.$$

Подходит только $$x=11.$$

Ответ

а) $$5{,}25$$; б) $$11$$.