Упр.27.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 27.29. а) (x2 — 5x + 7)2 — (x — 2)(x — 3) = 1; б) ((x — 2)(х — 4))2 + 2(x — 3)2 — 2 = 0.

1. а) Обозначим $$t=x^2-5x+7.$$ Тогда уравнение примет вид

   $$t^2-(x-2)(x-3)=1.$$

   Раскроем скобки:

   $$t^2-(x^2-5x+6)=1.$$

   Так как $$x^2-5x+7=t,$$ то $$x^2-5x+6=t-1.$$ Получаем

   $$t^2-(t-1)=1,$$

   $$t^2-t=0,$$

   $$t(t-1)=0.$$

   Отсюда:

   $$t=0 \quad \text{или} \quad t=1.$$

   1) $$x^2-5x+7=0.$$

   $$D=25-28=-3<0,$$ корней нет.

   2) $$x^2-5x+7=1,$$

   $$x^2-5x+6=0,$$

   $$x=2 \quad \text{или} \quad x=3.$$

2. б) Обозначим $$t=x^2-6x+8.$$ Тогда

   $$((x-2)(x-4))^2+2(x-3)^2-2=0.$$

   Так как

   $$ (x-2)(x-4)=x^2-6x+8=t, $$

   а

   $$2(x-3)^2=2(x^2-6x+9)=2(t+1),$$

   то уравнение перепишется так:

   $$t^2+2(t+1)-2=0,$$

   $$t^2+2t=0,$$

   $$t(t+2)=0.$$

   Отсюда:

   $$t=0 \quad \text{или} \quad t=-2.$$

   1) $$x^2-6x+8=0,$$

   $$D=36-32=4,$$

   $$x=2 \quad \text{или} \quad x=4.$$

   2) $$x^2-6x+8=-2,$$

   $$x^2-6x+10=0,$$

   $$D=36-40=-4<0,$$ корней нет.

Ответ

а) $$2,\,3$$; б) $$2,\,4$$.